domingo, 28 de enero de 2018

Demostrando el teorema de Pitágoras

"La razón es inmortal, todo lo demás es mortal" Pitágoras.

¿Qué tienen Euclides, Einstein, de doce años, y el presidente estadounidense James Garfield, en común? Todos presentaron pruebas elegantes para el famoso teorema de Pitágoras, la regla que dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de un lado más el cuadrado del otro lado es igual al cuadrado de la hipotenusa. En otras palabras, a² + b² = c².

Esta afirmación es una de las reglas más fundamentales de la geometría y la base para aplicaciones prácticas como la construcción de edificios estables y la triangulación de coordenadas del GPS. El teorema se llama así por Pitágoras, un filósofo griego y matemático del siglo VI aC., pero se conocía hacía más de mil años. Una tableta babilónica de alrededor de 1800 aC lista 15 series de números que satisfacen el teorema. Algunos historiadores especulan que los agrimensores egipcios antiguos utilizaban uno de esos conjuntos, el 3, 4, 5, para hacer esquinas cuadradas. La teoría es que los topógrafos extendían una cuerda anudada con 12 segmentos iguales para formar un triángulo con lados de longitud 3, 4 y 5. Según lo que dice el teorema de Pitágoras, esto tiene que hacer un triángulo rectángulo, y, por lo tanto, una esquina cuadrada. Y los primeros textos matemáticos indios conocidos escritos entre 800 y 600 aC. establecen que una cuerda estirada  a través de la diagonal de un cuadrado produce un cuadrado dos veces mayor que el original. Esa relación puede derivarse del teorema de Pitágoras.

Pero ¿cómo sabemos que el teorema es verdadero para cada triángulo recto sobre una superficie plana, no solo los que estos matemáticos y topógrafos conocían? Porque podemos demostrarlo. Las pruebas usan las reglas matemáticas y la lógica existentes para demostrar que un teorema debe ser válido siempre. Una prueba clásica a menudo atribuida a Pitágoras mismo utiliza una estrategia llamada prueba por transposición. Tome 4 triángulos rectángulos idénticos con longitudes laterales a y b y longitud de la hipotenusa c. Organizarlos de modo que sus hipotenusas formen un cuadrado inclinado. El área de este cuadrado es c². Ahora reorganice los triángulos en dos rectángulos, dejando cuadrados más pequeños a cada lado. Las áreas de esos cuadrados son a² y b². Aquí está la clave.

El área total de la figura no cambió y las áreas de los triángulos tampoco. Así que el espacio vacío en uno, c² debe ser igual al espacio vacío en el otro, a² + b².

Otra prueba viene de su compañero matemático griego Euclides y también descubierta casi 2000 años más tarde por Einstein de doce años. Esta prueba divide un triángulo rectángulo en otros dos y utiliza el principio de que si los ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales, la proporción de sus lados es la misma, también. Así que para estos 3 triángulos similares, uno puede escribir estas expresiones para sus lados. A continuación, se reorganizan los términos. Y finalmente, se suman las dos ecuaciones y se simplifica para obtener ab² + ac² = bc², o a² + b² = c². Aquí hay una que utiliza la teselación, un patrón geométrico repetitivo para una prueba más visual.

¿Puedes ver cómo funciona? Detén el video un momento, si quieres, para pensarlo.

Aquí está la respuesta. El cuadrado gris oscuro es a² y el gris claro es b². El delineado en azul es c². Cada cuadrado contorneado azul contiene las piezas de exactamente una oscuridad y un cuadrado gris claro, probando de nuevo el teorema de Pitágoras. Si realmente te gusta convencerte a ti mismo, podrías construir un plato giratorio con 3 cajas cuadradas de igual profundidad conectados entre sí alrededor de un triángulo rectángulo. Si llenas el cuadrado más grande con agua y giras el plato giratorio, el agua del cuadrado grande llenará perfectamente los dos pequeños.

El teorema de Pitágoras tiene más de 350 pruebas, y contando, que van desde lo brillante a lo oscuro. ¿Puedes agregar  la tuya propia a la mezcla? Cuéntanoslo en los comentarios!

No hay comentarios:

Publicar un comentario