¿Qué es la materia cuántica topológica?

¿Qué sucedería si la electricidad pudiera viajar para siempre sin disminuir? ¿Y si un computador pudiera procesar más rápido con exactitud perfecta? ¿Qué tecnologías podrían construir esas habilidades? Podríamos descubrirlo gracias al trabajo de los tres científicos que ganaron el Premio Nobel de Física en el 2016.

David Thouless, Duncan Haldane, y Michael Kosterlitz ganaron el premio por descubrir que incluso materia microscópica a la escala más pequeña puede presentar propiedades macroscópicas y fases topológicas. Pero, ¿qué significa eso?

Primero, la topología es una rama de las matemáticas que se enfoca en las propiedades fundamentales de los objetos. Las propiedades topológicas no cambian al expandir o doblar el objeto. El objeto tiene que ser rasgado o unido a nuevos lugares. Una dona y una taza de café son lo mismo para un topólogo porque ambas tienen un agujero. Tú podrías convertir una dona en una taza de café y aún tendrías solo un agujero. Esa propiedad topológica es constante. Por otro lado,  un pretzel tiene tres agujeros. No hay pequeños cambios que puedan convertir una dona en un pretzel. Tú tendrías que abrir dos agujeros nuevos.

Por mucho tiempo no estuvo claro si la topología era útil para describir los comportamientos de las partículas subatómicas. Eso sucede porque las partículas, como electrones y fotones, son objeto de las extrañas leyes de la física cuántica, que incluye bastante incertidumbre no observada a la escala de las tazas de café.

Pero los Premio Nobel descubrieron que las propiedades topológicas existen a nivel cuántico. Y ese descubrimiento puede revolucionar la ciencia de los materiales, la ingeniería electrónica, y las ciencias de la computación. Porque estas propiedades generan una estabilidad sorprendente y características extraordinarias para algunas fases exóticas de la materia en el delicado mundo cuántico.

Un ejemplo es el aislador topológico. Imagina una capa de electrones. Si un campo magnético fuerte pasa a través de ellos, cada electrón comenzará a moverse en círculos, lo que se llama una órbita cerrada. Como los electrones están atrapados en estos círculos, no conducen electricidad. Pero en el borde del material, las orbitas están abiertas, conectadas y apuntando en la misma dirección. Así, los electrones pueden saltar de una órbita a otra y viajar por todo el borde.

Esto significa que el material conduce electricidad alrededor del borde pero no en la mitad. Aquí es donde aparece la topología. La conductividad no se ve afectada por pequeños cambios en el material, como impurezas o imperfecciones. De la misma manera que el agujero en la taza de café no cambia al estirarlo. El borde del aislador topológico transporta electrones perfectamente: ningún electrón viaja al contrario, no hay pérdida de energía como calor, e incluso puede controlarse el número de caminos conductores. Podría crearse la electrónica del futuro para usar esta autopista perfecta de electrones.

Las propiedades topológicas de partículas subatómicas también pueden transformar la computación cuántica. Los computadores cuánticos aprovechan que las partículas subatómicas pueden estar en diferentes estados al mismo tiempo para guardar información en algo llamado "qubits". Los qubits pueden solucionar problemas exponencialmente más rápido que los computadores clásicos digitales. El problema es que estos datos son tan delicados que pueden ser destruidos al interactuar con el ambiente.

Pero en alguna fase topológica exótica, las partículas subatómicas pueden ser protegidas. En otras palabras, los qubits creados no pueden cambiar con perturbaciones locales o pequeñas. Los qubits topológicos serían más estables llevando a cálculos más exactos y mejores computadores cuánticos.

La topología fue originalmente estudiada como una rama de la matemática abstracta. Gracias al trabajo pionero de  Thouless, Haldane, and Kosterlitz, ahora sabemos que puede servir para entender los acertijos de la naturaleza y para revolucionar el futuro de las tecnologías.

¿Los números son interesantes o aburridos?

Si te pregunto si los números son aburridos o interesantes que me responderías?

Hoy os traigo una especie de paradoja que es más bien un juego, bueno... en realidad no sé como llamarlo, pero pensad lo siguiente: ¿Quién es más interesante? ¿El mejor futbolista del mundo o el cuarto mejor futbolista del mundo?

Muchos responderéis el primero, por la sencilla razón de que destaca por encima de los demás. Ahora si yo os digo que todos los números de este mundo son interesantes que me responderéis?

Podríais decirme que por ejemplo otra persona podría opinar que los números son aburridos y que por lo tanto yo estoy equivocado, ¿no? Os estoy diciendo algo muy fuerte, estoy afirmando que todos los números de este mundo son interesantes y lo estoy haciendo por encima de las opiniones de los demás, ¿qué está sucediendo aquí? ¿puedo hacerlo o soy un creído?
Imaginad ahora que todos los números son aburridos. Ahora tenemos que el número 1 es aburrido, el 2 también etc etc, sin embargo el número 1 es el primer número en ser aburrido es decir que está en la posición número 1 del ránking y por lo tanto se ha convertido en un número interesante!

Nuestro número 1 es ahora el futbolista número 1, ¿qué sucede con los demás números aburridos? Ahora que hemos quitado el 1 (ya que ahora es interesante), el número 2 es el que obtiene la primera posición en el ránking, de modo que se convierte en otro número interesante! Si seguimos esta lógica podemos afirmar que todos los números son interesantes y que no hay ninguno aburrido.

Así son las paradojas, tampoco os lo toméis muy en serio, la moraleja es que hagas lo que hagas siempre destacarás en algo, aunque ese algo sea destacar en no saber hacer nada.

Si queréis conocer un número realmente interesante entonces saludad al número áureo, ¿porqué es interesante? Porqué ese número está relacionado con la distancia entre tu ombligo y tus pies respecto a tu altura total. De hecho incluso sirve para saber si sois humanos con las medidas supuestamente perfectas.

Espero que os haya gustado y nos vemos.

Demostrando el teorema de Pitágoras

"La razón es inmortal, todo lo demás es mortal" Pitágoras.

¿Qué tienen Euclides, Einstein, de doce años, y el presidente estadounidense James Garfield, en común? Todos presentaron pruebas elegantes para el famoso teorema de Pitágoras, la regla que dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de un lado más el cuadrado del otro lado es igual al cuadrado de la hipotenusa. En otras palabras, a² + b² = c².

Esta afirmación es una de las reglas más fundamentales de la geometría y la base para aplicaciones prácticas como la construcción de edificios estables y la triangulación de coordenadas del GPS. El teorema se llama así por Pitágoras, un filósofo griego y matemático del siglo VI aC., pero se conocía hacía más de mil años. Una tableta babilónica de alrededor de 1800 aC lista 15 series de números que satisfacen el teorema. Algunos historiadores especulan que los agrimensores egipcios antiguos utilizaban uno de esos conjuntos, el 3, 4, 5, para hacer esquinas cuadradas. La teoría es que los topógrafos extendían una cuerda anudada con 12 segmentos iguales para formar un triángulo con lados de longitud 3, 4 y 5. Según lo que dice el teorema de Pitágoras, esto tiene que hacer un triángulo rectángulo, y, por lo tanto, una esquina cuadrada. Y los primeros textos matemáticos indios conocidos escritos entre 800 y 600 aC. establecen que una cuerda estirada  a través de la diagonal de un cuadrado produce un cuadrado dos veces mayor que el original. Esa relación puede derivarse del teorema de Pitágoras.

Pero ¿cómo sabemos que el teorema es verdadero para cada triángulo recto sobre una superficie plana, no solo los que estos matemáticos y topógrafos conocían? Porque podemos demostrarlo. Las pruebas usan las reglas matemáticas y la lógica existentes para demostrar que un teorema debe ser válido siempre. Una prueba clásica a menudo atribuida a Pitágoras mismo utiliza una estrategia llamada prueba por transposición. Tome 4 triángulos rectángulos idénticos con longitudes laterales a y b y longitud de la hipotenusa c. Organizarlos de modo que sus hipotenusas formen un cuadrado inclinado. El área de este cuadrado es c². Ahora reorganice los triángulos en dos rectángulos, dejando cuadrados más pequeños a cada lado. Las áreas de esos cuadrados son a² y b². Aquí está la clave.

El área total de la figura no cambió y las áreas de los triángulos tampoco. Así que el espacio vacío en uno, c² debe ser igual al espacio vacío en el otro, a² + b².

Otra prueba viene de su compañero matemático griego Euclides y también descubierta casi 2000 años más tarde por Einstein de doce años. Esta prueba divide un triángulo rectángulo en otros dos y utiliza el principio de que si los ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales, la proporción de sus lados es la misma, también. Así que para estos 3 triángulos similares, uno puede escribir estas expresiones para sus lados. A continuación, se reorganizan los términos. Y finalmente, se suman las dos ecuaciones y se simplifica para obtener ab² + ac² = bc², o a² + b² = c². Aquí hay una que utiliza la teselación, un patrón geométrico repetitivo para una prueba más visual.

¿Puedes ver cómo funciona? Detén el video un momento, si quieres, para pensarlo.

Aquí está la respuesta. El cuadrado gris oscuro es a² y el gris claro es b². El delineado en azul es c². Cada cuadrado contorneado azul contiene las piezas de exactamente una oscuridad y un cuadrado gris claro, probando de nuevo el teorema de Pitágoras. Si realmente te gusta convencerte a ti mismo, podrías construir un plato giratorio con 3 cajas cuadradas de igual profundidad conectados entre sí alrededor de un triángulo rectángulo. Si llenas el cuadrado más grande con agua y giras el plato giratorio, el agua del cuadrado grande llenará perfectamente los dos pequeños.

El teorema de Pitágoras tiene más de 350 pruebas, y contando, que van desde lo brillante a lo oscuro. ¿Puedes agregar  la tuya propia a la mezcla? Cuéntanoslo en los comentarios!