domingo, 28 de enero de 2018

Demostrando el teorema de Pitágoras

"La razón es inmortal, todo lo demás es mortal" Pitágoras.

¿Qué tienen Euclides, Einstein, de doce años, y el presidente estadounidense James Garfield, en común? Todos presentaron pruebas elegantes para el famoso teorema de Pitágoras, la regla que dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de un lado más el cuadrado del otro lado es igual al cuadrado de la hipotenusa. En otras palabras, a² + b² = c².

Esta afirmación es una de las reglas más fundamentales de la geometría y la base para aplicaciones prácticas como la construcción de edificios estables y la triangulación de coordenadas del GPS. El teorema se llama así por Pitágoras, un filósofo griego y matemático del siglo VI aC., pero se conocía hacía más de mil años. Una tableta babilónica de alrededor de 1800 aC lista 15 series de números que satisfacen el teorema. Algunos historiadores especulan que los agrimensores egipcios antiguos utilizaban uno de esos conjuntos, el 3, 4, 5, para hacer esquinas cuadradas. La teoría es que los topógrafos extendían una cuerda anudada con 12 segmentos iguales para formar un triángulo con lados de longitud 3, 4 y 5. Según lo que dice el teorema de Pitágoras, esto tiene que hacer un triángulo rectángulo, y, por lo tanto, una esquina cuadrada. Y los primeros textos matemáticos indios conocidos escritos entre 800 y 600 aC. establecen que una cuerda estirada  a través de la diagonal de un cuadrado produce un cuadrado dos veces mayor que el original. Esa relación puede derivarse del teorema de Pitágoras.

Pero ¿cómo sabemos que el teorema es verdadero para cada triángulo recto sobre una superficie plana, no solo los que estos matemáticos y topógrafos conocían? Porque podemos demostrarlo. Las pruebas usan las reglas matemáticas y la lógica existentes para demostrar que un teorema debe ser válido siempre. Una prueba clásica a menudo atribuida a Pitágoras mismo utiliza una estrategia llamada prueba por transposición. Tome 4 triángulos rectángulos idénticos con longitudes laterales a y b y longitud de la hipotenusa c. Organizarlos de modo que sus hipotenusas formen un cuadrado inclinado. El área de este cuadrado es c². Ahora reorganice los triángulos en dos rectángulos, dejando cuadrados más pequeños a cada lado. Las áreas de esos cuadrados son a² y b². Aquí está la clave.

El área total de la figura no cambió y las áreas de los triángulos tampoco. Así que el espacio vacío en uno, c² debe ser igual al espacio vacío en el otro, a² + b².

Otra prueba viene de su compañero matemático griego Euclides y también descubierta casi 2000 años más tarde por Einstein de doce años. Esta prueba divide un triángulo rectángulo en otros dos y utiliza el principio de que si los ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales, la proporción de sus lados es la misma, también. Así que para estos 3 triángulos similares, uno puede escribir estas expresiones para sus lados. A continuación, se reorganizan los términos. Y finalmente, se suman las dos ecuaciones y se simplifica para obtener ab² + ac² = bc², o a² + b² = c². Aquí hay una que utiliza la teselación, un patrón geométrico repetitivo para una prueba más visual.

¿Puedes ver cómo funciona? Detén el video un momento, si quieres, para pensarlo.

Aquí está la respuesta. El cuadrado gris oscuro es a² y el gris claro es b². El delineado en azul es c². Cada cuadrado contorneado azul contiene las piezas de exactamente una oscuridad y un cuadrado gris claro, probando de nuevo el teorema de Pitágoras. Si realmente te gusta convencerte a ti mismo, podrías construir un plato giratorio con 3 cajas cuadradas de igual profundidad conectados entre sí alrededor de un triángulo rectángulo. Si llenas el cuadrado más grande con agua y giras el plato giratorio, el agua del cuadrado grande llenará perfectamente los dos pequeños.

El teorema de Pitágoras tiene más de 350 pruebas, y contando, que van desde lo brillante a lo oscuro. ¿Puedes agregar  la tuya propia a la mezcla? Cuéntanoslo en los comentarios!

viernes, 19 de enero de 2018

Explicando la entropía

Hay un concepto crucial para química y la física. Este explica porque los procesos físicos son de una manera y no de otra, por qué se derrite el hielo, por qué la crema se propaga en el café, por qué sale el aire de una llanta rota...
Se llama entropía, y es notoriamente difícil de entender. La entropía se describe usualmente como una medida del desorden. Esa es una representación conveniente, pero desafortunadamente es... Por ejemplo, ¿qué es mas caótico un vaso de hielo picado o un vaso de agua a temperatura ambiente? La mayoría de las personas  diríamos el hielo pero realmente ese tiene menos entropía.

Hay otra manera de pensar en ello a través de la probabilidad. Esto puede ser un poco difícil de entender pero tomate un momento para asimilarlo y tendrás mejor entendiemiento sobre la entropia. Piensa en dos pequeños cuerpos sólidos que están comprendidos cada uno de 6 enlaces atómicos. En ese modelo la energía en cada solido cuerpo denso está almacenada en un enlace. Estos pueden verse como contenedores simples que pueden sostener unidades invisibles de energía conocida como cuántica. A más energía tiene el cuerpo sólido, mas caliente es. Sucede que hay numerosas maneras de que la energía puede ser distrubuida en los dos cuerpos sólidos y aún haber la misma energía en cada uno. Cada una de estas opciones se llama microestado. Por 6 cuanticos de energia en en solido A y 2 en solido B hay 9702 microestados. Por supuesto, hay otras maneras que de organizar nuestras 8 energías. Por ejemplo, toda la energía puede estar en el sólido A y ninguna en el sólido B o la mitad en el sólido A y mitad en el sólido B.

Si asumimos que cada microestado es igualmente probable, podemos ver que algunas configuraciones de la energía tienen mas probabilidades de ocurrir que las otras. Esto es debido a su mayor número de microestados. La entropía es una medida de toda probabilidad de configuración de energía. Lo que vemos es que la configuración de la energía en la que la energía se dispersa entre los cuerpos sólidos tiene la mayor entropía.

Así que en terminos generales la entropía puede ser vista como medida de esta propagación de la energía. Baja entropia significa que la energía está concentrada. La alta entropía significa energía esparcida.

Para ver porque la entropía es útil explicando procesos espontáneos, como elementos calientes derritiendose, necesitamos mirar el sistema dinámico en el que se mueve la energía. En realidad, la energía no se queda quieta. Ésta continua moviéndose entre enlaces vecinos. Mientras las energía se mueve, su configuración puede cambiar. Por la distribución de los microestados, hay un 21 % de posibilidad que el sistema esté mas tarde en la configuración en el cual la expansión de la energía se maximiza. Hay un 13 % de posibilidad que esta vuelva a su punto inicial, y un 8 % de posibilidad que A gane energía.

Nuevamente, vemos que con más formas cómo la que la energía se dispersa y la entropía alta concentra energía, esta energía tiende a dispersarse. Es por esto que si pones un objeto caliente cerca a uno frio, el frió se calentará y el caliente se derretirá. Pero incluso en este ejemplo, hay un 8 % de posibilidad que el objeto caliente se vuelva mas caliente.

¿Por qué pasa esto en la vida real? Es por que tamaño del sistema. Nuestros cuerpos sólidos hipotéticos solo tienen 6 enlaces cada uno. Ampliemos los sólidos a 6000 enlaces y 8000 unidades de energía, y empecemos nuevamente el sistema  con tres cuartos de la energía en A y un cuarto de la energía en B. Ahora encontramos que la probabilidad de que A adquiera más energía espontáneamente es un numero pequeño.

Objetos conocidos que usamos diariamente, tienen más partículas que este. La probabilidad de que un objeto caliente  se vuelva más caliente es absurdamente pequeña simplemente nunca sucede. El hielo se derrite, la crema se mezcla y las llantas se desinflan porque estos estados tiene mas energía dispersa que los originales. No hay una fuerza misteriosa empujando los sistemas a mayor entropía. Es solo que la mayor entropía es estadisticamente más probable.

Es por esto que la entropía has sido llamada flecha del tiempo. Si la energía tiene la oportunidad  de esparcirse, lo hará.

jueves, 11 de enero de 2018

El enigma de los tres dioses

Creado por el lógico Raymond Smullyan y popularizado por su colega George Boolos, este acertijo ha sido denominado el más difícil de la lógica.

Junto con tu equipo han aterrizado accidentalmente en un planeta antiguo. La única salida es apaciguar a sus tres soberanos alienígenas, Tee, Eff y Arr, dándoles los artefactos correctos. Desafortunadamente, no sabes quién es quién. De una inscripción, aprendes que puedes hacer tres preguntas de sí o no, cada una dirigida a cualquier señor. Las respuestas de Tee son siempre verdaderas, las de Eff siempre son falsas, y la respuesta de Arr es aleatoria cada vez.
Pero hay un problema. Has descifrado el lenguaje suficiente para hacer cualquier pregunta, pero no sabes cuál de las dos palabras,  "ozo" y "ulu", significa sí y cuál significa no. ¿Cómo puedes descifrar cuál alienígena es cuál? ¡Haz una pausa aquí si deseas averiguarlo por ti mismo!

Respuesta en: 3, 2, 1.

Al principio, este rompecabezas parece no solo difícil, sino absolutamente imposible. ¿De qué sirve hacer una pregunta si no puedes entender la respuesta ni saber si es verdad? Pero puede hacerse. La clave es formular cuidadosamente nuestras preguntas para que cualquier respuesta produzca información útil. En primer lugar, podemos llegar a no saber qué significa 'ozo' y 'ulu' incluyendo las mismas palabras en las preguntas y en segundo lugar, si cargamos cada pregunta con una condición hipotética, si un alienígena está mintiendo o no realmente no importará.

Para ver cómo podría funcionar, imagina que nuestra pregunta es si dos más dos son cuatro. En lugar de plantearla directamente, decimos: "Si te preguntara si dos más dos son cuatro, ¿responderías 'ozo'?" Si "ozo" significa sí y el jefe es Tee, sinceramente responde "ozo". Pero, ¿y si le preguntamos a Eff? Bueno, respondería "ulu", o no, a la pregunta encubierta, por lo que miente y responde "ozo" en su lugar. Y si "ozo" de hecho significa no, entonces la respuesta a nuestra pregunta encubierta es "ulu" y tanto Tee como Eff todavía responden "ozo", cada uno por sus propias razones.

Si te confunde por qué esto funciona, tiene que ver con la estructura lógica. Un doble positivo y un doble negativo,  ambos resultan en un positivo. Ahora bien, podemos estar seguros de que preguntándole a Tee o Eff de esta manera resultará "ozo" si la pregunta hipotética es verdadera y "ulu" si es falsa independientemente de lo que cada palabra realmente signifique. Por desgracia, esto no nos ayuda con Arr. Pero no te preocupes, podemos usar la primer pregunta para identificar a un alienígena que definitivamente no es Arr. Después podemos usar la segunda para averiguar si es Tee o Eff. Y una vez que lo sabemos, podemos pedirle que identifique a uno de los otros.

Vamos a empezar. Pregunta al alienígena del medio: "Si te preguntara si el soberano a mi izquierda es Arr, ¿responderías 'ozo'?" Si la respuesta es "ozo", hay dos posibilidades. Ya podrías estar hablando con Arr, en cuyo caso la respuesta carece de sentido. Pero de lo contrario, estás hablando con Tee o Eff y, como sabemos, recibir "ozo" de cualquiera de los dos significa que tu pregunta hipotética era correcta, y el soberano de la izquierda es en realidad Arr. Como sea, puedes estar seguro de que el alienígena a la derecha no es Arr. Del mismo modo, si la respuesta es "ulu", entonces sabes que el alienígena de la izquierda no puede ser Arr.

Ahora ve al soberano que has determinado que no es Arr y pregúntale: "Si te pregunto '¿Eres Eff?', responderías 'ozo'?" Como no tienes que preocuparte por la posibilidad aleatoria, cualquiera de las respuestas establecerá su identidad. Ahora que sabes si sus respuestas son verdaderas o falsas, pregunta al mismo alienígena si el soberano del centro es Arr. El proceso de eliminación identificará al resto.

Los satisfechos soberanos te ayudan a reparar tu nave y te preparas para el despegue. Una pregunta final, le preguntas a Tee si es un largo camino hacia la Tierra, y él responde "ozo". Lástima que aún no sepas qué significa eso.

miércoles, 3 de enero de 2018

Las órdenes ejecutivas en EE.UU

El 1 de enero de 1863, Abraham Lincoln cambió legalmente el estatus de esclavo a libre de más de 3 millones de esclavos negros en 10 estados. Su Proclamación de Emancipación no fue una ley o un decreto presidencial. Fue una orden ejecutiva. Quienes diseñaron la Constitución de EE.UU. crearon el poder de la orden ejecutiva y la hicieron disponible al poder ejecutivo. Pero, ¿en qué consiste esta  herramienta exactamente? ¿Cómo funciona? Y, ¿cuál es el alcance de su poder?

Bien, una orden ejecutiva no es una ley pero puede tener peso legal. La aprobación de las leyes demanda un proceso relativamente largo. Primero, un miembro del Congreso propone un instrumento legislativo en forma de proyecto de ley. Luego de muchos comités y revisiones, si el proyecto de ley es aprobado por una mayoría de votos en el Congreso, entendido como la Cámara y el Senado, el proyecto de ley es luego enviado al presidente para que lo firme. Si el presidente firma el proyecto de ley, este luego se convierte en ley.

Por otro lado, una orden ejecutiva es algo que el presidente expide sin consulta o permiso del Congreso. Sin embargo, son cumplidas como leyes y están sujetas a la revisión judicial por el sistema de las cortes para asegurarse de que estén dentro de los límites constitucionales. Eso significa que las cortes tienen el poder para invalidar cualquier decisión ejecutiva que a su juicio sobrepase las facultades del presidente en ejercicio de su poder. Y así, cuando el presidente deje su puesto, si quienes lo reemplacen desean eliminar la orden ejecutiva, lo podrán hacer.

Entonces, ¿cuándo usa el presidente una orden ejecutiva? A veces un presidente siente la necesidad de aplicar el poder sin tener en cuenta al Congreso; y en tiempos de crisis las decisiones expeditas se pueden justificar. Sin embargo, la mayoría de las órdenes no son respuestas a emergencias. Generalmente se dirigen hacia las agencias del gobierno federal para ampliar o contraer su poder. Otras determinan el alcance en el que se debe aplicar la legislación; y algunas veces, un presidente puede usar una orden legislativa para aclarar y ayudar a implementar una política que necesita ser fácilmente definida.

Algunas de las órdenes ejecutivas más famosas han cambiado el curso de la historia estadounidense. Franklin Delano Roosevelt, FDR, promulgó una orden ejecutiva para crear la Administración del Progreso Laboral, APL, que ayudó en la construcción de carreteras, puentes y parques a lo largo y ancho del país. La APL también le dio empleo a miles de escritores, pintores, escultores y artistas para que crearan obras de arte en espacios públicos. Adicionalmente, Harry Truman usó una orden ejecutiva para acabar con el racismo en las Fuerzas Armadas en 1948. Y en 1965, Lyndon Johnson  firmó una orden ejecutiva para definir los requerimientos para las prácticas no discriminatorias para la contratación y para el empleo.

Las órdenes ejecutivas se han usado generalmente de manera positiva e incluyente; pero también se han usado para excluir y dividir. Uno de los ejemplos más notables es la orden ejecutiva de 1942 de FDR. Le dio autoridad a los militares para tener en la mira predominantemente a estadounidenses de origen japonés, germano e italiano en ciertas regiones del país. Esta orden ejecutiva también desplazó a cualquiera o a todas esas personas dentro de zonas militares comúnmente llamadas campos de internado. A comienzos de década de 1960 cada presidente había expedido unas 300 órdenes ejecutivas; pero FDR expidió más de 3500.

En el otro extremo del espectro, William Henry Harrison nunca expidió una orden ejecutiva, tal vez porque su presidencia solo duró 31 días. Hay algo de ambigüedad en la Constitución de EE.UU. en lo que se refiere al alcance del poder del presidente. Eso ha originado órdenes ejecutivas que se extienden en el tiempo. Por ejemplo, desde Lyndon Johnson, los presidentes comenzaron a dictar órdenes para crear: iniciativas basadas en la fe, establecer agencias federales y para quitar los obstáculos a la investigación científica. Existen formas en el sistema político estadounidense que le permiten revisarse y equilibrarse. El Congreso aprueba leyes que pueden contrarrestar las órdenes ejecutivas y los jueces pueden detenerlas al considerarlas inconstitucionales. Sin embargo, mientras llega el momento para que eso suceda, una orden ejecutiva puede aplicarse y quizá para bien o para mal, podría cambiar el curso de la historia.